Sluiten

Redacteur

aan het

woord

Gerhard Hartdorff, redacteur Pabo Platform, werkte als leerkracht basisonderwijs en leraar Nederlands in het voorgezet onderwijs om vervolgens zijn loopbaan voort te zetten als uitgever en uitgeefdirecteur bij verschillende, grotere educatieve uitgeverijen. Na nog een aantal jaren als (interim-) directeur in het basisonderwijs gewerkt te hebben, is hij momenteel opleider en vakdidacticus Nederlands bij de iPabo in Amsterdam.

 

Deze keer is ‘Platform’ geheel gewijd aan het vakgebied rekenen-wiskunde, zoals het nog steeds op de pabo en in het basisonderwijs heet. Of we het vak vanuit de invalshoek van ontwikkelingsgericht onderwijs niet beter ‘wiskunde’ zouden moeten noemen is een vraag die lector Ronald Keijzer zich in het hoofdartikel van dit nummer stelt. In zijn betoog gaat hij onder meer in op de 21e eeuwse vaardigheden van zijn vakgebied zoals deze ook in ‘Ons Onderwijs 2032’ aan de orde komen.

Vanuit dezelfde invalshoek van het ontwikkelingsgerichte denken worden door diverse auteurs allerlei aspecten van het rekenen-wiskunde onderwijs onder de loep genomen. Zo kijken lector Jantien Smit en haar mede auteurs naar hoe je talige ondersteuning kunt bieden in een taalzwakke reken- en wiskundeklas, hogeschooldocent Erica de Goeij behandelt de wiskundige attitude van kinderen op de basisschool, hogeschooldocent Fokke Munk behandelt het belang van de rekencoördinator op de basisschool en tot slot kijkt onderwijsadviseur Greetje van Dijk naar het verrijkingsproces van het vakgebied rekenen in de klas.

En natuurlijk laat Volkskrantcolumniste Aleid Truijens haar licht even schijnen over hoe zij dat moeilijke vak rekenen op de basisschool ziet.

Ik wens u veel leesplezier en een mooie zomer en reacties zijn welkom via de LinkedIn pagina!

Lector

aan het

woord

Ronald Keijzer studeerde wiskunde, promoveerde in 2003 aan de VU over het leren van breuken. Lector rekenen-wiskunde en didactiek Hogeschool iPabo. Mede hoofdredacteur van de serie Rekenen-wiskunde in de praktijk en van de TAL-boeken bovenbouw basisschool. Projectleider van de Grote Rekendag, hoofdredacteur van Volgens Bartjens – Ontwikkeling en Onderzoek. Werkte mee aan de kennisbasis rekenen-wiskunde voor de pabo’s en is redacteur van de landelijke kennisbasistoets rekenen-wiskunde.

Rekenen op de toekomst

In dit magazine kunt u een ingekorte versie van het artikel lezen. Wilt u het volledige artikel lezen? Download het hier.

Wat is wiskunde?

Het woord ‘rekenen’ refereert voor veel mensen aan het volgens standaardwerkwijzen een aanzienlijk aantal sommen maken; hoe sneller, hoe beter. Dat is niet het vak waar ik het over wil hebben. Mijn voorkeur gaat daarom uit naar de aanduiding ‘wiskunde’ voor het vak op de basisschool dat nogal eens wordt aangeduid met ‘rekenen’. Dat is namelijk in vrijwel alle landen gebruikelijk en voorkomt discontinuïteit in reken-wiskundeonderwijs van basisschool naar voortgezet onderwijs. Ik zal het vak daarom verder aanduiden als ‘wiskunde’. Bij die wiskunde gaat het om modelleren, schematiseren, abstraheren, generaliseren, structureren en formaliseren. Het rekenen met getallen hoort daar bij, want bijvoorbeeld een som als 284+61 kan gezien worden als formalisering van een situatie waarin 284 en 61 objecten bij elkaar gevoegd worden. Bij het oplossen van de som gebruikt men in het algemeen een schema of een model.

Lees verder

Kerndoelen
De Kerndoelen Rekenen/Wiskunde (SLO, 2006) voor het basisonderwijs beschrijven in de preambule wat kenmerkend is voor dit vak op de basisschool, namelijk:

– wiskunde leren zien in betekenisvolle situaties;
– het verwerven van wiskundetaal;
– het passend omgaan met formele en informele notatiewijzen, schematische voorstellingen, tabellen en grafieken;
– kennis van getalrelaties en getalreferenties.

Wiskundige geletterdheid
In de tekst van de kerndoelen wordt dit geheel samengevat als het verwerven van wiskundige geletterdheid ofwel gecijferdheid. Iemand die gecijferd is herkent getallen en getalsmatige informatie in zijn omgeving en gaat daar op een passende manier mee om (Hoogland & Meeder, 2007). Iemand die gecijferd is heeft daarnaast de beschikking over een breed repertoire van getalrelaties, om die in te zetten als het nodig is. Zo kan iemand bedenken dat je een uurtje loopt over een afstand die je binnen 20 minuten met de fiets aflegt. Om dit te bedenken zijn referenties nodig die ook bij deze wiskundige geletterdheid passen, namelijk een idee over hoe snel iemand loopt en hoe snel een fietser gaat. Overigens is gecijferdheid of wiskundige geletterdheid iets wat iedereen op een geheel eigen manier verwerft. De wiskunde kan hierbij gezien worden als een almaar groeiend bouwwerk. Met het inzetten van referenties, getalrelaties en gekende procedures bouwen mensen stukje bij beetje aan hun eigen wiskunde. Lees verder

Wiskunde als menselijke activiteit
Dit idee van het bouwen aan de eigen wiskunde, die van mens tot mens verschilt, sluit aan bij (onder andere) Freudenthal (1968; 1971), die wiskunde omschrijft als menselijke activiteit. Wiskunde is niet de verzameling formules en rekenregels die door mensen (en computers) gebruikt worden. Het is de activiteit die mensen ondernemen als ze bedenken welke regelmaat er is, welke structuur ze herkennen, hoe je die kunt achterhalen door schema’s en modellen te gebruiken en ze daarbij rekenregels en getalrelaties kunnen inzetten. Het is ook de activiteit die leidt tot het bedenken van dergelijke rekenregels. Wiskunde als menselijke activiteit maakt ook dat wiskunde zich het beste laat omschrijven in werkwoorden als ‘abstraheren’, ‘schematiseren’, ‘modelleren’, ‘formaliseren’ en ‘structureren’. Als mensen wiskundig bezig zijn, mathematiseren ze hun omgeving, wat inhoudt dat ze hun omgeving door een wiskundige bril bekijken, om met de wiskunde die zo ontstaat aan de slag te gaan. Als ik bijvoorbeeld in een straat bij huisnummer 134 sta, terwijl ik bij 98 moet zijn, weet ik dat ik een flink aantal huizen terug moet lopen. Als even en oneven nummers aan één kant van de straat staan, dan is het 34 huizen terug om bij nummer 100 te komen. Dan zijn er nog twee te gaan. We abstraheren de straat tot een getallenlijn, waar we sprongen over maken, en gebruiken kennis van de getallenrij en getalsstructuur om te bepalen welke sprongen bruikbaar zijn.

 

Mathematiseren
Overigens gaat het bij wiskunde om veel meer dan om het mathematiseren van de alledaagse werkelijkheid. De wiskunde zelf kan ook een herkenbare omgeving zijn. Een leerling die ziet dat ‘134 – 98 = 34 + 2 = 36’ ziet door zijn of haar wiskundige bril de bewerking aftrekken als het aanvullen, namelijk hoe ze 98 moet aanvullen tot je bij 134 bent. Hij of zij ziet in dat dat bij de som 134 – 98 veel oplevert. De tweede situatie, de kale som, lijkt daarbij op de eerste situatie, het zoeken naar een huisnummer, maar dan op een hoger niveau. Wiskundeonderwijs is er specifiek op gericht om leerlingen te begeleiden dit hogere niveau te bereiken. Het middel daarvoor is het doordenken van situaties die reeds gekend zijn.

Wiskunde van de toekomst
In navolging van onder andere Freudenthal stel ik wiskunde hier dus voor als menselijke activiteit, waarbij betekenisvolle situaties – zowel buiten als binnen de wiskunde – aanleiding geven tot mathematiseren. Dit mathematiseren schetste ik als de wereld door een wiskundige bril te bekijken. Door dit gericht te doen, bijvoorbeeld onder begeleiding van een leraar, leer je meer van de wiskunde. Je eigen wiskundige bouwwerk wordt telkens vergroot. En als je mathematiseren op die manier beschouwt, is de stap naar onderzoekend leren klein. Immers onderzoekend leren is niet veel anders dan kritisch naar je eigen omgeving kijken, om er aldus greep op te krijgen – bijvoorbeeld door geschikte vragen te stellen en op zoek te gaan naar passende middelen om deze vragen te beantwoorden. Je leert op deze manier bij onderzoekend leren van het proces. Lees verder

Dat doe je namelijk van het uitvoeren van het onderzoek, en ook van het resultaat, het antwoord dat je uiteindelijk vond (Tanis, Dobber, Zwart, & Van Oers, 2014). We zouden kunnen zeggen dat als we mathematiseren zien als onderzoekend leren, dat we dan het middel in het onderzoek tot op zekere hoogte vastleggen. Bij mathematiseren gaat het immers om wiskundige middelen gebruiken en ontwikkelen om een vraag te beantwoorden die de omgeving oproept. Anders gezegd: mathematiseren kan volgens mij goed gezien worden als vorm van onderzoekend leren.

Niet leren als in het verleden
‘Nou en…?,’ zo zult u zich wellicht afvragen. ‘Waarom zou je mathematiseren zo graag willen beschouwen als onderzoekend leren?’ Onderzoekend leren wordt op tal van manieren geassocieerd met het leren voor de toekomst. Dat geldt veel minder voor het rekenen. Dat wordt vooral – overigens samen met taal – gezien als instrumentele vaardigheid die ingezet moet worden bij andere vakken, op het moment dat het aankomt op onderzoekend leren (Platform Onderwijs2032, 2016). Dit idee dat het bij rekenen vooral gaat om het instrumentele karakter – de vaardigheid om de vier hoofdbewerkingen passend toe te passen – sluit aan bij het verwerven van vaardigheden die van belang waren in de zeventiende eeuw. Lees verder

Meer leren voor de toekomst
Waar vroeger het rekenen nodig was voor de handel, is die taak om snel berekeningen te maken in veel gevallen overgenomen door computers. Het gebruik van dergelijke nieuwe technologieën maakt dat de contexten waarin de wiskunde moet worden gebruikt, maar ook moet worden ontwikkeld, een andere is dan bijvoorbeeld eind vorige eeuw. Het bezien van wiskunde als proces van mathematiseren opent het perspectief op de toekomst en biedt ook kansen om accenten te verleggen in het wiskundeonderwijs op de basisschool. Denk daarbij bijvoorbeeld aan het programmeren van apparaten en het omgaan en structureren van grote hoeveelheden gegevens. Deze nieuwe onderwerpen vragen om leerlingen die op onderzoek gaan, omdat pasklare antwoorden niet zo maar beschikbaar zijn en de problemen niet kunnen worden opgelost door een vaste werkwijze te volgen. Nadruk op het mathematiseren maakt ook de wiskunde zelf tot onderzoeksgebied en dat biedt kansen om leerlingen te voorzien van een passend repertoire om in en met de wiskunde verder te komen.

Tot slot
Het vervangen van het woord ‘rekenen’ door het woord ‘wiskunde’ kan helpen om op een andere manier naar het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool te kijken. Het zet wellicht aan tot denken en dat was hier ook het doel. De connotatie die kleeft aan het woord ‘rekenen’ – het louter instrumentele rekenen – is niet meer van deze tijd. Daar hebben we afscheid van genomen en dat zouden we wellicht nog wat radicaler kunnen doen. Het uitbreiden van de betekenis van ‘wiskunde’ is echter geen tovermiddel. Als we het rekenonderwijs in de toekomst alleen maar aanduiden als wiskundeonderwijs en verder geen actie ondernemen, dan verandert er natuurlijk niets. Het gebruiken van een ander woord zou een voorbode moeten zijn voor het anders richten van het denken.

Literatuur
Bosker, R., & Van de Vorle, R. (2014). Advies over de uitwerking van de referentieniveaus 2F en 3F voor rekenen in toetsen en examens. Enschede: SLO.
Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. (2008). Over de drempels met taal en rekenen. Enschede: SLO.
Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. (2009). Referentiekader Taal en Rekenen. Enschede: SLO.
Freudenthal, H. (1968). Why to teach mathematics so as to be useful. Educational Studies in Mathematics, 1, 3-8.
Freudenthal, H. (1971). Geometry between the devil and the deep sea. Educational Studies in Mathematics, 3(3/4), 413-435.
Hoogland, K., & Meeder, M. (2007). Gecijferdheid in beeld. Utrecht: APS.
KNAW. (2009). Rekenonderwijs op de basisschool. Analyse en sleutels tot verbetering. Amsterdam: KNAW.
Kool, M. J. (1999). Die conste vanden getale: een studie over Nederlandstalige rekenboeken uit de vijftiende en zestiende eeuw. Hilversum: Verloren.
Platform Onderwijs2032. (2016). Ons onderwijs2032 – Eindadvies. Den Haag: OCW.
SLO. (2006). Kerndoelen primair onderwijs. Den Haag: OCW.
Stevin, S. (1608). Wisconstighe gedachtenissen. Deel 1: van ‘t weereltschrift. Leiden: Ian Bouvvensz.
Tanis, M., Dobber, M., Zwart, R., & Van Oers, B. (2014). Beter leren door onderzoek. Hoe begeleid je onderzoekend leren van leerlingen? Amsterdam: Vrije Universiteit.
Treffers, A. (1987). Three dimensions. A model of goal and theory description in mathematics instruction – The Wiskobas project. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
Van der Schvere van Meenen, I. (1600). Arithmetica Oft Reken-const. Haarlem: Gillis Hooman Boeckdrucker.

Opleider

aan het

woord

Fokke Munk is sinds 1990 opleider rekenen en wiskunde op de hogeschool iPabo, mede auteur van de opleiding rekencoördinator, mede auteur van diverse artikelen over de rekencoördinator en lid van de voorbereidingsgroep van de Nationale rekencoördinator dag.

Elke school een rekencoördinator

Behoefte aan een specialist
Een rekencoördinator is een specialist in de school die de rol van ondersteuner van collega’s bij het geven van rekenen vervult. Daarnaast mag van deze specialist worden verwacht dat hij adviezen aan directie en IB over rekenbeleidszaken kan geven. Waar komt deze behoefte aan een specialist vandaan en hoe speelt de opleiding hier op in?

Het basisonderwijs kent in het algemeen een platte organisatiestructuur. Leraren met specialistische belangstelling en competenties hebben weinig gelegenheid om door te groeien naar meer specialistische functies. Het idee om vakspecialisaties te ontwikkelen werd in eerste instantie zo’n 15 jaar geleden uitgewerkt voor taal en rekenen via de expertisecentra taal (Universiteit Nijmegen) en Rekenen-wiskunde (Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht). Vervolgens heeft het platform nascholing van de hbo- instellingen besloten om een post-hbo-opleiding te laten ontwerpen voor taalcoördinatoren en voor rekencoördinatoren. Deze opleiding startte in 2002. Opleiders die de cursus wilden verzorgen volgden een train-de-trainers bijeenkomst om het materiaal te leren kennen en in de greep te krijgen. Er was vanuit de opleiders veel belangstelling voor deze specialistenopleiding. Na een paar jaar zakte de belangstelling vanuit het onderwijsveld weg.

Lees verder

De bestuurlijke en financiële prikkel om te komen tot een middenkader bleef uit. De rekencoördinatoren die waren opgeleid kregen in het algemeen weinig ruimte in de school om de rol van ondersteuner van collega’s te kunnen overnemen. Vaak bleef het bij de enthousiaste liefhebber die buiten de les om collega’s van ideeën voorziet.

Kwaliteit rekenonderwijs en de inspectie
De discussie over de kwaliteit van de opbrengst van het rekenonderwijs rond 2007/2008 zorgde ervoor dat de belangstelling voor de rekencoördinator weer aantrok. De prestatieafspraken die de PO-raad met de minister maakte, leidden tot een scherper toezicht van de inspectie. In de kwaliteitsadviezen van de PO- raad is de rol van de rekencoördinator benoemd en bij schoolbezoeken vraagt de inspectie soms expliciet naar de rekencoördinator als gesprekspartner voor het rekenonderwijs.   

Uit het inspectieonderzoek naar basisvaardigheden van het reken-wiskunde-onderwijs (inspectie, 2008) kwam naar voren dat 23 % van de scholen als rekenzwak werd beschouwd. Onderdelen die op deze scholen vaker als onvoldoende werden beoordeeld, hebben betrekking op het geven van uitleg, het bevorderen van strategisch denken, het analyseren van de vorderingen en het vervolgens aanpassen van de inhoud en aanpak van de onderwijsactiviteiten en het omgaan met verschillen.

Uit het inspectieonderzoek naar basisvaardigheden van het reken-wiskunde-onderwijs (inspectie, 2008) kwam naar voren dat 23 % van de scholen als rekenzwak werd beschouwd. Lees verder

Onderdelen die op deze scholen vaker als onvoldoende werden beoordeeld, hebben betrekking op het geven van uitleg, het bevorderen van strategisch denken, het analyseren van de vorderingen en het vervolgens aanpassen van de inhoud en aanpak van de onderwijsactiviteiten en het omgaan met verschillen. De cursisten van de opleiding voor rekencoördinator gaven aan dat veel collega’s op school hun methode op de letter volgden omdat ze zich niet in staat achtten om de rekenontwikkeling van de kinderen goed aan te sturen. Een realistische rekendidactiek bleek dus voor veel leraren erg moeilijk te zijn. Er was meer discussie nodig over de doorgaande leerlijnen en over afstemmen op de onderwijsbehoefte van de leerlingen. De behoefte aan een rekenspecialist die het gesprek met de collega’s kon voeren begon voelbaar te worden.

Landelijk Platform Nascholing
De gezamenlijke hogescholen hebben in 2010 hun Landelijk Platform Nascholing de opdracht gegeven om een update te maken van de opleiding. Ook nu was er voor de trainerscursus veel belangstelling en dit heeft er toe geleid dat er in veel scholen een rekencoördinator aan de slag is gegaan. De teller staat nu op ongeveer 1200 gecertificeerde rekencoördinatoren. De inspectie, de invoering van de referentieniveaus als explicitering van de kerndoelen, het ERWD –protocol (ernstige reken- en wiskundeproblemen), de verschuivende aandacht van de achterblijvers naar de sterke rekenaars en de eerste stappen van scholen richting digitalisering van het onderwijs zijn de afgelopen vijf jaar belangrijke thema’s geworden waar directies van scholen mee te maken kregen. Het is dan ook niet vreemd dat ook schoolbestuurders leraren hebben gestimuleerd om de verantwoordelijkheid op zich te nemen voor het rekenbeleid. 

Wensen van de praktijk
De praktijk wijst uit dat de scholen wisselend omgaan met hun rekencoördinator. Vaak is er wel een LB-functie aan gekoppeld, maar heeft de coördinator weinig tijd om zijn rol te kunnen vervullen. De coördinator is vaak voorzitter van een rekenwerkgroep op school. Tijd om bij collega’s in de rekenles te komen, is schaars. De coördinator leidt soms een ‘eenzaam’ bestaan als liefhebber van het rekenonderwijs. Uit de landelijke studiedagen (NRCD), kwam naar voren dat er een wens is om regelmatig contact te hebben met collega’s-rekencoördinatoren. Ook op bestuursniveau worden soms initiatieven genomen om tot een netwerk of een professionele leergroep te komen. Bovendien heeft de NVORWO (Nederlandse vereniging voor ontwikkeling van rekenwiskunde onderwijs) zich onlangs uitgesproken om het vormen van regionale netwerken van rekencoördinatoren als een belangrijk speerpunt te nemen.  Een belangrijk initiatief dat de rekencoördinatoren een steun in de rug kan geven.

Onderzoek als kernpunt
In de opleiding onderzoekt de aspirant-rekencoördinator een verbeterpunt in het rekenonderwijs op zijn school. Deze onderzoekende insteek zou een kernpunt in het rekenbeleid van een school moeten worden: een coördinator die samen met collega’s onderzoekend onderwijst en daarmee ieders kwaliteiten helpt versterken. Hier wordt het rekenonderwijs beter van en daar draait het toch tenslotte om: dat leerlingen er beter van worden.

Column

Aleid Truijens is journalist en schrijver. Zij heeft een wekelijkse column in de Volkskrant, die vaak over onderwijs gaat. Daarnaast schrijft ze over literatuur en non-fictie. Ze schreef de romans Geen nacht zonder en Vriendendienst en publiceerde onlangs een biografie over de schrijver F. B. Hotz: Geluk kun je alleen schilderen – F. B. Hotz, het leven.

Een hond die door een hoepel springt

Ik vond het een stom vak, rekenen. Veel liever zat ik zwijmelend met mijn neus in meisjesboeken waarin ze elkaar op het eind altijd kregen. Ook schreef ik stiekem verhaaltjes en gedichten. Taal, dat was mijn fort. Tegen betaling van dropveters was ik wel bereid om medeleerlingen af te laten kijken bij dictee en ontleden.

Andersom, afkijken bij staartdeling, breuken en verhaaltjessommen, was zo makkelijk niet. Het ging niet alleen om de uitkomst. Je moest het doen om het te kunnen. Rekenen was gewoon bloedmoeilijk. Ik kan me goed voorstellen dat veel pabo-studenten het een lastig vak vinden, en dat ze enorm aanhikken tegen de verplichte rekentoetsen. Maar ja, het moet. Een beetje juf of meester moet toch minstens zo goed kunnen rekenen als de slimste rekenaar in groep 8.

Dankzij een geduldige juf leerde ik toch nog heel behoorlijk rekenen. Ze onthulde me de trucs met grootste gemene delers, procenten, gewicht, oppervlakte en inhoud. Ik heb er nog steeds plezier van. Bij de Bonusaanbieding bij Albert Heijn, bij de houthandel waar ik een planken vloer koop. Bij het maken van mijn facturen en declaraties.

Lees verder

Rekenen kon ook taal zijn. Ik leerde geheimzinnige woorden als mud, gros, kuub, bunder, mengel en schepel die me nu als poëzie in de oren klinken. Mijn juf had het talent om berekeningen zichtbaar te maken met die woorden, en de beroepen waarbij ze hoorden. Ze haalde er ook dingen uit ons eigen leven bij: taartpunten, voetbalvelden, diepe zwembaden, verhoging van zakgeld en eenzame fietsers die de bomen telden. Met rekenen kon je ook verhalen vertellen.

Ik heb nooit helemaal begrepen waarom dit ‘realistische’, of ‘talige’ rekenen zo kwalijk zou zijn, zoals sommigen wiskundeleraren menen. Het zou de échte abstractie in de weg staan. Maar abstraheren en logisch denken hebben toch ook met de werkelijkheid te maken? Met ónze werkelijkheid? Anders zou wiskunde op school niet zo’n belangrijk vak zijn.

Precies op dat gebied ging het bij mij op de middelbare school mis. Ik hoorde glazig allerlei nieuwe formules aan en paste ze mechanisch toe als een hond die door een hoepel had leren springen. Maar ik begreep niet waarom dit moest, hoe ik dit alles kon gebruiken en toepassen. De wiskundeleraar wilde het me ook niet uitleggen. Hij rolde meewarig met zijn ogen om zoveel domheid en stuurde mij en mijn vriendinnen naar buiten, zodat hij en de jongens verder konden met de stof.

Daarom ben ik zo blij in dit nummer van Platform te lezen dat volgens de nieuwste inzichten rekenen, wiskunde en het echte leven elkaar weer dienen te vinden. Dat de scheiding tussen rekenen en wiskunde wordt opgeheven en die tussen denken, analyseren en sommen maken.

Eigenlijk is het heel simpel: een mens vraagt zich, in taal, wel eens iets af, iets wat je met een wiskundige benadering kunt oplossen. Zoals de hoeveelheid thee die gaat in de reuzetheepot die op Hoog Catherijne staat. Kijk, dát zijn de dingen die we willen weten.

Je zit op school om te leren nadenken over de wereld. Die wereld is maar al te echt, en er is er maar één van, de onze. Om de wereld te begrijpen hebben we woorden en beelden nodig, fantasie, verbeeldingskracht, inlevingsvermogen, maar ook abstraherend en analytisch denken. In die laatste twee vinden taal en wiskunde elkaar. Zo zou je dat als leerling ook moeten ervaren. Ik denk dat als ik nu twaalf was, ik díe wiskunde niet zo stom zou vinden.

Boeken passend bij het thema Rekenen – Wiskunde

Wilt u kennismaken met deze titels? Klik dan op het boek voor meer informatie. Op de website kunt u gratis beoordelingsexemplaren aanvragen.

Docent

aan het

woord

Erica de Goeij is hogeschooldocent aan de Marnix Academie te Utrecht. Zij werkte tien jaar op het Freudenthal Instituut en tot 2014 combineerde zij haar werk op de pabo met een baan als leerkracht op de Julianaschool in Bilthoven.

Wiskundige attitude

 

De theepot van Hoog Catharijne

Bovenop winkelcentrum Hoog Catharijne in Utrecht heeft tot vorig jaar een grote theepot gestaan. Tussen al het ‘bouwgeweld’ in het gebied rond het winkelcentrum stond deze theepot symbool voor de kleine, alledaagse gezelligheid. Met de leerlingen van groep 8 van de Julianaschool in Bilthoven bekijken we onderstaande afbeelding van de theepot. We vragen ons af of er voor alle inwoners van de stad Utrecht een kop thee in de pot zit, als we hem zouden vullen met thee.


De kinderen schatten de hoogte van de theepot op zo’n 6 à 7 meter. Daarvoor gebruiken ze de hoogte van de verdieping eronder als referentiemaat. Daarna gaan ze in tweetallen aan het werk. Er wordt druk getekend en gerekend op het vel papier. Roos en Noor hebben het probleem als volgt opgelost, zie volgende pagina.

Lees verder

Vraagstukken zoals deze vragen niet alleen om toepassing van wiskundige kennis, vaardigheden en inzichten, maar doen ook een beroep op meerdere wiskundige attitudes, zoals een algemene houding ten aanzien van wiskunde, een reflecterende houding, een onderzoekende houding, een communicatieve houding en een doelgerichte houding (Oonk & De Goeij, 2006).

Dit zijn ook belangrijke ‘21e eeuwse vaardigheden’! Zo vraagt het probleem van de theepot om het tonen van zelfvertrouwen; er is durf nodig bij het schatten van de afmetingen van de theepot en doorzettingsvermogen helpt bij het oplossen van het vraagstuk waarin meerdere berekeningen nodig zijn om tot een antwoord te komen. Een reflecterende houding tijdens het samenwerken en de interactieve nabespreking leidt tot terugkijken naar het eigen oplosproces en tot het verdiepen in de denkactiviteiten van medeleerlingen. Een onderzoekende houding is nodig om in het vraagstuk de wiskunde te herkennen en met behulp van wiskundetaal en wiskundige activiteiten als visualiseren en schematiseren tot een oplossing te komen.

In de oplossingswijze gaat soms ook een zekere ‘wiskundige creativiteit’ schuil. Zo kun je – net als Roos en Noor – kijken hoeveel liter thee in de theepot past om vervolgens na te gaan of dat genoeg is voor alle inwoners van Utrecht, maar een andere route kan worden gevolgd door vast te stellen hoeveel thee nodig zou zijn voor zoveel mensen en te kijken of al die liters ook werkelijk in de theepot passen. Door deze verschillende benaderingswijzen met elkaar uit te wisselen, draagt ook de communicatieve houding bij aan de wiskundige ontwikkeling van kinderen. Lees verder

 

In het gesprek ligt de nadruk op efficiëntie, op nauwkeurigheid, op mooie, handige strategieën, zodat de leerlingen via een doelgerichte houding op een hoger niveau van rekenen komen. Tot slot wil ik – niet onbelangrijk – ook het plezier in het maken van wiskundige opgaven vermelden. De leerlingen van groep 8 waren nieuwsgierig naar de inhoud van zo’n grote gevulde theepot en hebben daardoor met veel enthousiasme aan hun oplossing gewerkt.

Op de Marnix Academie besteden we sinds kort in de deeltijdopleiding expliciet aandacht aan het systematisch ontwikkelen van deze wiskundige attitudes bij leerlingen op de basisschool. Dit doen we vooral door studenten zich ervan bewust te maken welke vraagstukken openingen bieden voor het ontwikkelen van wiskundige attitudes en welke leerkrachtvaardigheden nodig zijn om de wiskundige attitudes van leerlingen te stimuleren. Essentieel daarbij is het werken aan de eigen wiskundige attitude van de studenten, bijvoorbeeld bij de voorbereiding op de Landelijke Kennistoets Rekenen-wiskunde. Het is mooi om te zien hoe studenten zelf ervaren wat de bijdrage van een wiskundige attitude aan de wiskundige ontwikkeling kan zijn.

 

Oonk ,W. & Goeij, E. de. (2006). Wiskundige attitudevorming. In Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 25, 4, p. 37-39.

Adviseur

aan het

woord

Greetje van Dijk werkt als senior onderwijsadviseur bij OnderwijsAdvies en is gespecialiseerd op het gebied van hoogbegaafdheid. Zij studeerde wiskunde en gaf les op po,vo en mbo en in het bedrijfsleven (wiskunde, kunstzinnige vorming, automatisering) en ontwikkelde verrijkingsmaterialen (Somplextra, Uitdager van de Maand, Pienter!). Zij ontwerpt mee aan De Grote Rekendag en de vernieuwde content van Acadin, de digitale leeromgeving voor talentvolle leerlingen.

Verrijking rekenen en wiskunde

 

Bestuur Trinamiek (IJsselstein) heeft het rekenonderwijs hoog in het vaandel staan. Zij werken aan een verrijkingsaanbod rekenen-wiskunde in alle groepen. Het afgelopen schooljaar, 2015-2016, werd aandacht besteed aan het werken met verrijkingsprojecten naast de gebruikelijke verrijking (zoals Plusboeken, Kien, Somplex, Rekentijgers of logische- en denkspellen). Voor leerkrachten van groep 6, 7 en 8 stond het werken met Somplextra en ‘de uitdager van de maand’ op het programma, voor groep 1 en 2 de thematische projecten van Pienter! 1-2.

Voor groep 3, 4 en 5 wilde men ook verrijkingsprojecten zoals ‘de uitdager van de maand’ inzetten. Er werd besloten om deze projecten zelf te ontwerpen. Met Surplus, expertisecentrum voor begaafden van OnderwijsAdvies, is een training opgezet, waarin deelnemers ‘de uitdager van de maand-junior’ voor de Trinamiek-scholen ontwikkelen.

Lees verder

De opbouw van de training
In de eerste bijeenkomst verkenden de deelnemers (rekencoördinatoren, leraren uit groep 3, 4 en 5) het kader ‘diep-breed-ruim’ en bestudeerden de opbouw van ‘de uitdager van de maand’. Zij oriënteerden zich op bestaande verrijking en rijke rekenopdrachten (de Grote RekenDag, Rekenweb, Speleon). Deze opdrachten of eigen ideeën konden dienen als vertrekpunt voor een nieuwe ‘uitdager-junior’. Gezamenlijk werden keuzes gemaakt over de onderwerpen (bijvoorbeeld klok en tijd, meetkunde, tafels, constructies).In drie werkbijeenkomsten kregen de ‘uitdagers-junior’ vorm. Er moesten heel wat 21e eeuwse vaardigheden worden ingezet: samenwerken, creatief en innovatief denken en een kritische en oplossende houding. Tijdens de slotbijeenkomst werden verschillende uitdagers getest en voorzien van commentaar en aanbevelingen.

Voorbeeld ‘uitdager-junior’: van tafelspin naar rekenwoud
De training werd als volgt opgezet. Vertrekpunt voor een groepje leerkrachten was een opdracht ‘tafelspin’ (zie volgende pagina rechts: Tafelspin). Deze opdracht werd verbreed door er informatie over spinnen aan toe te voegen. De bollebozen leren dat er veel verschillende spinnen zijn, en dat al die echte spinnen precies acht poten hebben. Zij krijgen opdracht om uit te zoeken hoeveel ‘echte’ tafelspinnen er zijn tussen 1 en 100. Vervolgens krijgen leerlingen de ruimte om zich creatief uit te leven met het tekenen van mooie, griezelige of lieve tafelspinnen met precies 8 poten (zie afbeelding tafelspin 24), voor de liefhebbers natuurlijk ook voor getallen groter dan 100. Lees verder

De leerkrachten hadden met deze uitbreiding van de oorspronkelijke opdracht, het kader ‘diep-breed-ruim’ te pakken. Vervolgens was de opdracht dit in te bedden in de indeling ‘uitdager van de maand’. Het idee ontstond om de tafelbeesten in een rekenwoud te laten leven. Het project kreeg -in grote lijnen- deze vorm:

  • Starten met een onderzoek door alle leerlingen: we maken ‘tafelbeesten’ bij de getallen 1 t/m 50. We kijken welk dier de meeste tafel-pootjes heeft.
  • De begaafde en intelligente leerlingen:
    • sorteren de tafelbeesten op aantallen pootjes,
    • leren over spinnen en zoeken naar tafelspinnen met 8 poten bij getallen tussen 1 en 100,
    • redeneren over ‘tafelspinnen’ (“als 24 een echte spin is, dan heeft tafeldier 48 meer poten en is dus geen spin”),
    • selecteren ook alle tafelbeesten met twee poten: de priemvogels! (zie afbeelding priemvogel 13),
    • ontwerpen een poster met tafelspinnen en priemvogels in een rekenwoud.
  • Met de hele groep wordt geteld (en gecontroleerd) hoeveel ‘echte’ tafelspinnen en priemvogels er in het rekenwoud leven.
  • Desgewenst kan het rekenwoud worden uitgebreid met tafeltijgers (4 poten) en tafeltorren (6 poten). Lees verder

Resultaten en vervolg

De leerkrachten die deelnamen aan de ontwerp-training vertelden –al tijdens de training- meer oog te hebben voor de behoeften van de slimmere leerlingen. Het differentiëren voor deze groep gaat hen gemakkelijker af, zij hebben er plezier in gekregen en waren gemotiveerd om te zoeken naar begeleidingstijd.

Tijdens de training zijn vooral half-producten gemaakt. Het uitwerken van de projecten als ‘huiswerk’ bleek een hele belasting. Om deze producten in schooljaar 2016-2017 in te kunnen zetten bij alle Trinamiek-scholen is nog een inspanning nodig. Trinamiek en OnderwijsAdvies zetten zich daar samen voor in. De projecten zullen worden opgenomen in Acadin (www.acadin.nl) zodat veel meer leerlingen van de resultaten van de training kunnen genieten.

 Tenslotte is het belangrijk dat de leerlingen feedback krijgen op hun werk. Daarvoor is een kritische houding nodig van de leerkracht en de leerling. Nevenstaande tafelspin (zie afbeelding tafelspin 100) mist bijvoorbeeld een pootje en is dus geen ‘echte tafelspin’. Het kritisch leren nakijken hoort er bij: fouten kijken je aan om van te leren en samen weet en zie je meer. Ervaringen die je niet jong genoeg kunt opdoen!

Links naar aanvullend materiaal:
Presentatie over Uitdager van de Maand 
Uitdager van de maand
‘Diep, breed en ruim’in de handleiding Pienter! 1-2
Somplextra

Onderzoekers

aan het

woord

Jantien Smit promoveerde in juni 2013 op talige ondersteuning in het reken-wiskundeonderwijs aan de Universiteit Utrecht (FI). Sinds augustus 2013 werkt ze als associate lector bij Saxion.

Ronald Keijzer promoveerde in 2003 aan de VU over het leren van breuken en is lector aan de iPabo.

Fokke Munk is sinds 1990 opleider rekenen en wiskunde op de hogeschool iPabo.

Arthur Bakker is universitair hoofddocent aan het Freudenthal Instituut. Hij publiceerde in 2015 met Jantien Smit en Rupert Wegerif een themanummer over scaffolding en dialogic teaching in ZDM Mathematics Education.

Rekentaal in de steigers

Talige ondersteuning bieden in een taalzwakke reken-wiskundeklas

Door: Jantien Smit
Met medewerking van: Ronald Keijzer, Fokke Munk en Arthur Bakker

Het overheidsbeleid richt zich al jaren op het verhogen van de opbrengsten voor rekenen-wiskunde (Ministerie van OCW, 2012). Scholen zetten in op de kwaliteit en de professionaliteit van de leraar. Zowel nationaal (KNAW, 2009) als internationaal (NCTM, 2000) wordt gesteld dat de sleutel tot het verbeteren van de rekenvaardigheid ligt in het verbeteren van de interactie tussen leraar en leerling. Deze interactie maakt het voor leerlingen mogelijk om oplossingen aan te dragen, om strategieën te verwoorden en wiskundig te (leren) redeneren. Interactie – en daarmee taal – zijn kort gezegd onmisbaar om mee te doen in de reken-wiskundeles en om wiskundige kennis te ontwikkelen (Morgan, 2007). Betekenisvolle interactie komt in de reguliere rekenles echter te weinig van de grond en leerkrachten gaan kansen voor taalontwikkeling en taalondersteuning vaak uit de weg.

Lees verder

Over schooltaal- en vaktaalwoorden
Associate lector Jantien Smit (eerste auteur) heeft in haar promotieonderzoek (2013) onderzocht hoe leerkrachten in taalzwakke klassen leerlingen kunnen ondersteunen bij het verwerven van de voor rekenen-wiskunde benodigde taal. Deze taal bestaat naast dagelijkse taal om te beginnen uit “schooltaalwoorden”: de woorden die leerlingen doorgaans niet buiten de schoolmuren gebruiken, maar die wel nodig zijn om deel te nemen in schoolse vakken zoals rekenen-wiskunde. Voorbeelden van schooltaalwoorden zijn toename, patroon, geleidelijk en aflezen. Daarnaast zijn er vaktaalwoorden – de woorden die specifiek zijn voor het vak rekenen. Deze woorden verschillen per rekendomein: bijvoorbeeld verhoudingsgewijs en verhoudingstabel voor het rekenen met procenten, maar horizontale as en stapgrootte als we over lijngrafieken redeneren. Ook domeinspecifieke formuleringen spelen een belangrijke rol. Een voorbeeld in het domein verhoudingen: “Als we de ene term verdubbelen, dan moeten we de andere term halveren.”

Rekendoelen en denkstappen
Om als leerkracht te weten welke taal centraal moet staan in de interactie met de leerlingen, is het zaak om eerst het rekendoel van een les of opgave goed voor ogen te hebben. Daarnaast, zo bleek uit een professionaliseringsonderzoek onder leiding van lector Ronald Keijzer, is het van belang om van tevoren te doordenken welke “denkstappen” een leerling moet maken om een opgave te kunnen oplossen. Deze denkstappen behelsen drie niveaus:
• de context (zoals: de korting berekenen bij aanschaf van een fiets);
• het model (zoals: de verhoudingstabel, om de korting te berekenen);
• het formele rekenen (de som zelf).

Elk niveau vraagt een eigen taalvaardigheid van de leerling. Bij het redeneren over de context moet een leerling bijvoorbeeld de denkstap maken: “korting wil zeggen: het bedrag dat ik minder hoef te betalen”. Als een leerling met een verhoudingstabel aan de slag gaat, moet hij zich realiseren dat “de hoeveelheid boven en de procenten onder” komen te staan. En het formele rekenen brengt bijvoorbeeld een formulering als “20% van 300 is gelijk aan 60; de korting is dus
€60” met zich mee.

Taal in de steigers
In interactie met de leerlingen kan de leerkracht vervolgens scaffolding-strategieën (Smit, 2013; zie figuur 1 onder “scaffolding”) inzetten. Met deze scaffolding-strategieën zetten leerkrachten de taalontwikkeling metaforisch gezien “in de steigers”. Dat wil zeggen dat de inzet van deze strategieën de leerlingen helpt om geleidelijk de benodigde taal te verwerven én zelfstandig te gaan gebruiken (zie onderstaand interactiefragment over een lijngrafiek die het gewicht van oom Kees representeert). Lees verder

rekentaalkaart.png

 

 

 

 

 

 

 

Figuur 1: De Rekentaalkaart: voor het voorbereiden en uitvoeren van een taalgerichte rekenles

Referenties

  • KNAW. (2009). Rekenonderwijs op de basisschool: Analyse en sleutels tot verbetering. Amsterdam: KNAW.
  • Ministerie van OCW. (19 december 2012). Voortgangsrapportage implementatie referentiekader taal en rekenen. Den Haag: Ministerie van OCW.
  • Morgan, C. (2007). Who is not multilingual now? Educational Studies in Mathematics, 64(2), 239–242.
  • NCTM. (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: NCTM.
  • Mit, J. (2013). Scaffolding language in multilingual mathematics classrooms. Utrecht: Freudenthal Institute for Science and Mathematics Education, Faculty of Science, Utrecht University.
 Redactieteam

Gerhard Hartdorff (eindredacteur)
Margriet Bakker (Noordhoff Uitgevers)
Renée Heuvelman (Noordhoff Uitgevers)
Esther van Rhijn (Noordhoff Uitgevers)

Pabo Platform is een digitaal magazine van Noordhoff Uitgevers voor en door docenten en opleidingsmanagers. Het blad wordt gratis verspreid.

Contactgegevens

Noordhoff Uitgevers
Postbus 58
9700 MB Groningen

Voor meer informatie of vragen:
ga naar Mijn Noordhoff

Website

Kijk op meer informatie over onze studieboeken, evenementen, accountmanagers en auteurs op onze website.

Social media